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时间优化的促折销使得收入与 S0+S2 成正比， 其成本与 S02+S2（如底部的图所示）。固定折扣促销和时间优化的促销之间的这种差异表明在概率密度函数具有某些数量性质时存在利用时间优化来改善毛利率的潜力。

零售商向客户提供一组产品时，针对每个用户都制定不同的价格来最大化整体的收入。另外，该问题可以重新定义为提供定向折扣从而在基线价格上改变价格。

零售商准备一次促销活动，即对某个或者一组特定商品进行有时限的折扣。对促销活动的规划需要估计到下列有关的值：

哪些产品的库存需要避免在活动结束前缺货？

什么样的价格会最大化收入？价格可以考虑是一个恒定值或者是一个从活动开始到结束不同时间段的函数。

我们将考虑库存水平是预先确定的，零售商试图计算最优价格这种情况。这是时尚零售商在处理季节性清仓和款式翻新 [JH14, CA12] 中遇到的典型问题。这一问题可以以不同的方式来定义，如将需求预测和价格优化作为独立的问题来处理，也可以同时优化库存水平和价格，总之其目的是最大化收入。

促销活动的规划在零售中有如下的应用：

清仓和季节性促销是时尚零售业中的主要应用。

某些商业模式如快闪零售（也被称为弹出零售）只有促销活动一种销售方式。

快消品和易腐品的零售商可以使用促销活动策划来调整销售节奏与产品保质期同步 。

动态需求预测和价格优化是经济学中所研究的基础问题，被称为收入管理。收入管理的理论在书籍如 [TA05] 中有很好的阐释和系统化的介绍。在服务业中的预定服务，如机票、体育场座位、酒店房间、租车等等场景中可以找到收入管理自动化的最先进和最有效率的例子。

要理解这些技术可以如何在零售领域中使用，我们来考察由 RueLaLa（一个时尚零售商）提出来的方法论。

我们假设一个零售商计划对 N 个产品或者产品组（产品组中的产品价格相同，如不同口味的酸奶，或者不同花色的 T 恤）进行打折。设 P 为价格集合，该集合包含每个产品可以设定的价格。在实践中，P 通常是根据业务规则组成的比较小集合。

例如，价格下限可以根据零售商的盈利水平定义为 29.90, 价格调整幅度根据心理价格可以设定为 5 美元，则 P=$29.9，$34.9，$39.9，$44.9，$49.9。

假设促销活动中的所有产品或者产品组都有某些共同点，例如同属于相同的类目“女鞋”或者“平安夜食品”，因此对一个产品的需求潜在的依赖于其他可替代产品的价格。

通过引入变量 S，其等于所有参与促销活动的竞争产品（产品组）的价格之和，而对某一产品估计的期望需求则为数学期望 E{Q | i，pj，S}，此处 Q 是表示需求量的随机变量，i=1，2，……，N 是产品的索引，而 j =1，2，……，|P| 是单个产品或产品组的价格。既然 Q 与产品价格 S 和都相关，这就隐含地包含了产品价格与可替代产品的评价价格的比值对需求和其弹性都是有影响的。

现在我们可以在假设 S 为固定的并对所有可能的 S 求解这一优化问题 [JH14]：

当产品 i 的价格为 pj 时，二值变量 δi,j∈0，1 为 1，否则为 0。上述优化问题中的目标函数可以自然地表达为促销活动的收入。第一项约束保证每个产品的价格都在 P 之中（原文可能有问题），而第二项约束保证所有产品的价格之和为 S。其他关于库存水平的约束也可以加入到优化问题中来。

以上的优化问题需对需求 E{Q | i，pj，S} 做估计，这可以用前面章节中做需求预测和价格分群的技术来解决。然而，需要非常注意到缺货（而且是可取的）是促销活动中非常典型的情况，因此对很多产品的需求预测建模所要用到的历史数据都是被截断的。

正如 [JH14] 中所建议的那样，可以通过使用在此前促销期间没有缺货的产品的数据为不同产品类别构建画像来解决此问题，并使用这些画像来调整相应类别的需求曲线。

零售商根据类目销售产品。一个类目表示一组相对内聚的产品，这些产品有很多共同点（如”甜点”、“女式牛仔”等），所以客户有可能在他们的首选产品因某些原因缺货时愿意用另一产品来替代。

产品缺货的主要原因有永久性的品种减少（如因为有限的货架空间）和暂时的性的售罄。类目管理的目标是利用替代效用用优化方法计算出一个产品子集，这一子集在满足物理约束如可用的货架空间的情况下可以最大化毛利率。

品类管理是一项相对专业化的工作，但是当目标是优化一个产品类目的整体收益而不是一个单一产品的收益时，它也会涉及到在促销优化问题中存在的替代效应问题。零售商一般情况下对类目的整体收益的关心程度远胜于对单个产品的优化，因此在本节中讨论的方法可以被用在很多不同的应用中以实现最优解决方案。

本节研究的模型可以直接应用于以下类目管理方式：

仓库的产品库存水平优化。一个特别重要的应用是对易腐产品的库存管理，这需要考虑到保质期和过去产品造成的潜在损失。

优化货架的布局来调整相关产品的份额。

类目规划（在类目中加入或者移除哪些产品）。

从计量经济学的角度来看，类目管理问题是由收益递减规律引起的。或者更具体地说，收入和成本与类目的规模关系是不同的，总的趋势是消费者购买能力在某个时候达到饱和，同时由于店铺面积和其他运营成本的增加，成本持续增长：

这一趋势引出了类目优化问题。这是一个非常具有挑战性的问题，因为它需要对整个类目中所有产品之间的相互依赖关系建模。然而，尽管面临这些挑战，在 [KOK07] 中已经提出了一种切实可行的类目优化模型，并在荷兰的连锁超市 Albert Heijn 中应用。在研究这一方法之前，我们先引入下列符号：

N={1，2，……，J} – 零售商给用户提供的一个类目下面的最大产品集合，即所有品类。

fi∈{0，1，2，……} – 产品 j 的库存水平。零售商通过选择 f 为 0（产品不出现在品类中）或者非 0 来优化品类。

F0 – 统一库存单位度量下的库存总容量。这里有个假设是所有产品的库存水平之和不能超过 F0。库存总容量可以由仓库或者店铺的可用货架空间所约束。

Nh N – 店铺 h 的品类，是总品类的子集。

dj 表示产品 j 的原始需求率（当所有 N 品类都展示给客户时有多少顾客会选择该产品）

Dj – 观察到的产品的需求率（每天因为原始意愿或者替代效应而实际选择产品 j 的数量）。对给定产品观察到的需求与原始需求和其他产品的可获得性（替代效应）有关系，其可以被视为函数：

Dj（{f1，……，fJ}，{d1，……，dJ}）

使用上述符号，品类优化问题可以形式化如下：

其中毛利率 Gj 是给定产品和其对应的观测需求的函数。这一函数很大程度上与零售商的商业模式有关，所以我们下面介绍一些通用的函数模板，基于这些模板可以根据实际的使用情况来定制毛利率函数：